ОСНОВИ ДИСКРЕТНОГО АНАЛІЗУ.
Автори: Н.Д.Федоренко,В.В.Демченко

     3.15. ЧИСЛЕННЯ ВИСЛОВЛЮВАНЬ

      Під висловлюванням розуміють речення, про яке можна сказати, яке воно істинне чи хибне. Позначають висловлювання великими літерами латинського алфавіту А,В,С,...

Наведемо приклади простих висловлювань:

А={Київ - столиця України} - це істинне висловлювання;

В={Київ - столиця Франції} - хибне висловлювання;

С={Київ або столиця України, або столиця Франції} - не є висловлюванням, бо про нього не можна сказати чи воно істинне, чи воно хибне.

      З простих висловлювань можна утворювати більш складні висловлювання за допомогою логічних зв'язків.

      1.Заперечення - читаються "не А", позначаються , або ¬A. Заперечення - хибне тоді, коли А - істинне. Таблиця істинності (табл. 18).

Таблиця 18.

      2.Диз'юнкція. Позначається , читається "А або В".

      Наприклад:

А={Петя пішов на лекцію},
В={Петя пішов в бібліотеку},
С={Петя пішов на лекцію або в бібліотеку}=.

Таблиця істинності (табл. 19).

Таблиця 19.



Тобто, диз'юнкція двох висловлювань істинна, якщо хоча б одне з них істинне.

      3.Кон'юнкція. Позначається , читається "А і В". Таблиця істинності (табл. 20).

Таблиця 20.



Кон'юнкція двох висловлювань істинна лише тоді, коли обидва висловлювання істинні.

      4.Імплікація. Позначається , читається "якщо А то В". Таблиця істинності (табл. 21).

Таблиця 21.



Характер імплікації зв'язаний з причинно-наслідковим відношенням, за яким А являється причиною, В - наслідком. Граматично це можна оформити так: "А є достатньою основою для В" або "В тому що А".

А={студент знає дискретну математику},

В={студент отримав оцінку п'ять з дискретної математики},

= {якщо студент знає дискретну математику, то він отримав оцінку п'ять".

      5.Еквівалентність. Позначається , або , читається "А еквівалентно В", "А тотожно В", "А рівносильно В". можна виразити через кон'юнкцію двох імплікацій, а саме:

.

Таблиця істинності (табл. 22).

Таблиця 22.



Існує різниця між так званими об'єктивними та суб'єктивними висловлюваннями. Якщо її не враховувати, то можна потрапити в протиріччя, які називають логічними парадоксами. Відомий так званий, "Парадокс брехуна". Нехай брехун каже про себе "Я - брехун". Він виступає в протилежній собі якості, тобто каже правду.

"Я - брехун" - сказав брехун, проте в цьому випадку можна стверджувати, що "Я - брехун" - сказав не брехун.

Як бачимо, невідомо як кваліфікувати того, хто це говорить - чи брехун, чи не брехун. Тобто невідомо чи висловлювання істинне чи хибне.

Розглянемо ще один відомий парадокс. Англійський логік Бертран Рассел розповів притчу:

В одному селі жив перукар. Він голив всіх жителів села, хто не міг поголитися сам. Рассел поставив питання: "Чи може перукар поголити самого себе?". Поміркуємо: якщо перукар захоче поголити самого себе, то як житель цього села, який голиться сам, він не вправі цього зробити, але якщо перукар не стане голитися, то він уже як житель села, який не голиться сам, зобов'язаний себе поголити.

Виразимо семантику цього протиріччя формальною мовою.

Нехай А - перукар



опишемо двома метависловлюваннями:

1) якщо , то .

2) якщо , то .

Якщо А=В, тобто перукар рядовий житель села, то обидва метависловлювання внутрішні протиріччя.

1) якщо , то .

2) якщо , то .

Вираз може означати "А лікує В", "А навчає В", "А виховує В" і т. інше. При цьому, хоча А як і В формально являється об'єктивною змінною, А не знаходиться на одному рівні з В, бо саме відносно А сформульовані метависловлювання.

ЗМІСТ