3.13. ДЕЯКІ КЛАСИ БУЛЕВИХ ФУНКЦІЙ
Представлення функцій ДНФ, КНФ утворено трьома операціями, а саме: диз'юнкцією, кон'юнкцією та
запереченням.
В логіці Буля діє принцип суперпозиції, який стверджує: довільна складна функція може бути
представлена як сукупність елементарних функцій двох аргументів. Поставимо запитання: через які
ще системи логічних операцій можна виразити довільну булеву функцію.
Розглянемо п'ять класів булевих функцій двозмінних.
0 - клас - це функція, що зберігає нульове значення на нульовому наборі термів, тобто 
.
1 - клас, це функція, що зберігає константу 1 на одиничному наборі термів, тобто 
, до 1 класу
відносяться непарні функції.
2 - клас - клас лінійних функцій, визначаються лінійністю поліноміальної форми. Наприклад -
еквівалентність - лінійна функція.
3 - клас - клас самодвоїстих функцій; описується
формулою 
, таких функцій - чотири.
4 - клас - клас монотонних функцій, визначається
нерівністю 
, де
;
Наприклад: 
Для диз'юнкції
, тобто диз'юнкція монотонна функція. Належність елементарних функцій до того
чи іншого класу К відмітимо на таблиці 16 .
Дана таблиця визначає систему базисних функцій.
Систему функцій називають базисною, якщо вона перекриває нулями всі рядки К-класів . З таблиці
видно, що це дві функції двох змінних (штрих Шефера та стрілка Пірса), кожна з яких може бути
застосована для побудови алгебри логіки. Всі інші функції можна отримати із них.
Таблиця 16.
| П'ять класів булевих функцій |
Клас |
Поряд-
ковий
номер |
Табли-
ця зна-
чень
функ-
цій |
Назва функції |
Симво-
лічне
позна-
чення
функції |
Представлення функції
в основній алгебрі
або у виді полінома |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 0000 | Константа
0 |  |  |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 1111 | Константа
1 |  |  |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 0011 | Основна
змінна |  |  |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4 | 0101 | Основна
змінна |  |  |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 1100 | Заперечення |  |  |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 1010 | Заперечення |  |  |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 1001 | Логічна
рівно-
значність |  |  |
0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 8 | 0110 | Логічна
нерівно-
значність |  |  |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 9 | 0111 | Диз'юнкція |  |  |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 10 | 1110 | Штрих
Шеффера |  |  |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 1101 | Імплікація |  |  |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 12 | 1011 | Імплікація |  |  |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 13 | 0001 | Кон'юнкція |  |  |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 14 | 0010 | Кон'юнкція |  |  |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 15 | 0100 | Кон'юнкція |  |  |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 15 | 1000 | Стрілка
Пірса |  |  |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |