ОСНОВИ ДИСКРЕТНОГО АНАЛІЗУ.
Автори: Н.Д.Федоренко,В.В.Демченко

     2.2. АЛГЕБРИ З ОДНІЄЮ ОПЕРАЦІЄЮ

      Найпростішою є алгебра з однією унарною операцією (тривіальний випадок).
Наступною за порядком є алгебра з однією бінарною операцією .

      Підгрупа - це алгебра з однією асоціативною операцією
.

      Наприклад: довільна множина функцій, яка замкнута відносно суперпозиції утворює півгрупу.

      Моноїд - це півгрупа, яка вміщує одиницю, тобто.

      Теорема. Одиниця єдина.
Доведення. Нехай існують дві одиниціта. Тоді:та, звідкиі.

      Група - це моноїд, в якому для всіхіснуєтаке, що.
Елементназивають оберненим елементом.

      Наприклад: множина не вироджених квадратних матриць утворює групу відносно операцій множення, одиницею групи являється одинична матриця, оберненим елементом - обернена матриця.

      Теорема. В групі :
1. обернений елемент єдиний;
2. .
3. .
4. .
Без доведення.

      Теорема. В групі однозначно розв'язуються рівнянняпричому розв'зок.
Доведення:
,то.
Звідки,або
Якщо у групі для елементів виконується рівність , то групу називають комутативною або абелевою групою.
Наприклад: множина додатних раціональних чисел утворює абелеву групу відносно операції множення.

ЗМІСТ