ОСНОВИ ДИСКРЕТНОГО АНАЛІЗУ.
Автори: Н.Д.Федоренко,В.В.Демченко

     ГЛАВА 2. АЛГЕБРАЇЧНІ СТРУКТУРИ

     2.1. ПОНЯТТЯ АЛГЕБРИ. ФУНДАМЕНТАЛЬНІ АЛГЕБРИ

      "Алгеброю" позначають не тільки розділ математики але і конкретні об'єкти, що вивчаються в ній. Поняття "алгебра" використовується як родове поняття для позначення різних алгебраїчних структур.
Нехай задано деяку непусту множину .
Всюди визначену функцію називають-арною операцією на.
Якщо операціябінарна,то будемо записувати це так або,або(- знак операції, або інфіксна форма запису).
Алгеброюназивається сукупністьмножиниз заданими в ній операціями . - основа або носій,- сигнатура. Перший нижній індекс операції вказує на її арність.
Операції- скінченномірні (фінітарні), сигнатура-скінчена.
Якщо не тільки функції але й відношення, то множинаразом зі всіма операціями та відношеннями називається моделлю.
Підмножинуназивають замкненою відносно операції,якщо для всіх,. Тодіназивають підалгеброю алгебри.
Будемо називати термом формальний вираз, побудований за допомогою знаків сигнатури;- множина термів в сигнатурі,алгебраназивається вільною алгеброю термів, а-алгеброю.

      Розглянемо алгебру.Нехай
,;; .
Деякі властивості операцій в алгебрі мають спеціальні назви:

1. Асоціативність: .
2. Комутативність: .
3. Дистрибутивність:
зліва: ,
справа: .
4. Поглинання: .
5. Ідемпотентність: .

      Наприклад: комутативні операції - додавання та множення чисел, не комутативна - добуток матриць; ідемпотентна- знаходження найбільшого спільного дільника натуральних чисел, неідемпотентна - додавання чисел.
Зауважимо, що алгебри з різними типамимають різну будову. Розглянемо дві алгебри одного типу
та .
Якщо існує функціятака, що
,
то кажуть, щогомоморфізм ізв.
Наприклад.

Рис. 3.

Нехай; Тип =(1) і (рис. 3).
Гомоморфізм, що є ін'єкцією називається мономорфізмом.
Гомоморфізм, що є сюр'єкцією називається епіморфізмом.
Якщо, то гомоморфізм називають ендоморфізмом, а ідоморфізм - автоморфізмом.
Якщо- ізоморфізм, то алгебританазивають ізоморфними і позначають.

ЗМІСТ