Математика в Internet

ОСНОВИ ДИСКРЕТНОГО АНАЛІЗУ.
Автори: Н.Д.Федоренко,В.В.Демченко

     1.ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ

1. Скільки трьохзначних чисел можна скласти з цифр 0.1,2,3,…,9, якщо цифри можуть повторюватися?

2. Скільки існує двозначних чисел, що мають обидві парні цифри?

3. Скільки існує п'ятизначних чисел, які можна читати однаково зліва направо і справа наліво?

4. Скільки існує шестизначних чисел, які діляться на 5?

5. В турнірі приймають участь 18 команд. Скількома способами можна розподілити золоту, срібну та бронзову медалі, якщо кожна команда може отримати лише одну медаль?

6. Скільки всього семизначних телефонних номерів, в яких жодна з цифр не повторюється?

7. Скільки існує двозначних чисел, в яких цифра десятків і цифра одиниць різні?

8. Скількома способами сім книжок різних авторів можна розставити в один ряд?

9. Скількома способами можна вибрати дві книжки з п'яти?

10. В опуклому семикутнику проведені всі можливі діагоналі. При цьому ніякі три з них не перетинаються в одній точці. Скільки точок перетину вказаних діагоналей?

11. В турнірі приймають участь 16 команд, причому дві команди грають між собою тільки один раз. Скільки всього календарних ігор?

12. Дано п'ять різних чисел.Скількома способами можна скласти різні добутки з цих чисел, що складаються з:
а) трьох різних множників;
б) чотирьох різних множників;
в) п'яти різних множників.

13. У Ніни є сім різних книжок з математики, а у Слави - дев'ять різних з філософії. Скількома способами вони можуть обмінятися один з одним по п'ять книжок?

14. З двох математиків і десяти економістів треба скласти комісію в складі 8 чоловік. Скількома способами це можна зробити, якщо в комісію повинен увійти хоча б один математик?

15. Скільки існує дільників числа 210?

16. Із 8 квітів (троянда, тюльпан, гвоздика, гладіолус, фіалка, ромашка, лілія) треба скласти букет так, щоб в нього входило не менше 2 квіток. Скількома способами це можна зробити?

17. Скільки раціональних чисел є в розкладі?

18. Довести тотожності:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;

19. Знайти число підмножин множини.

20. Довести рівність:
.
21. Знайти суму.

22. З міста А в місто Б ведуть 8 доріг, а з міста Б в місто С - чотири дороги. Скільки можливих шляхів ведуть із А в С?

23. Знайти число додатних цілих чисел, що не більші ніж 1000 і не діляться ні на одне із чисел 3,5 та 7.

24. Знайти число додатних цілих чисел що не більші ніж 1000 та не діляться ні на одне із чисел 6,10,15.

25. В ліфт сіло 10 людей. Скількома способами вони можуть вийти на 4-х поверхах так, щоб на кожному поверсі вийшла хоча б одна людина ?

26. Скількома способами можна розкласти 10 книжок в 4 бандеролі, по 2 книги в одну?

27. Скількома способами можна розділити колоду із 36 карт навпіл так, щоб в кожній пачці було по 2 тузи?

28. Визначити коефіцієнт а в одночленіпісля розкладу виразута приведені подібних членів.

29. Скількома способами можна розмістити-червоних, -жовтих,- зелених кульок по різних урнах?

30. Скількома способами 3 людини можуть розділити між собою 6 однакових яблук, 1 апельсин, 1 сливу, 1 лимон, 1 айву, 1 грушу, 1 мандарин?

31. Скількома способами можна вибрати 5 номерів із 36?

32. Скількома способами можна вибрати 6 карт із колоди в 52 карти, щоб серед них були карти кожної масті?

33. В колоді 52 карти. В скількох випадках при виборі із колоди 10 карт серед них буде:
а) хоча б один валет;
б) один валет;
г)рівно 3 валета;
д) не менше двох валетів?

34. У мами 10 яблук, 6 слив і 4 апельсини. Кожен день на протязі 20 днів підряд вона видає сину по 1 фрукту. Скількома способами вона це може зробити?

35. На дискотеці знаходяться 15 дівчат та 20 хлопців. Скількома способами можна вибрати з них 4 пари? Побудувати графічне відношення:.

36. Яку кількість матриць можна скласти із - рядків та стовпчиків з елементами із множини?

37. Довести тотожність:

38. Скількома способами можна посадити 10 чоловіків і 10 жінок за круглий стіл так, щоб ніякі двоє одного полу не сиділи поруч?

39. Скільки чисел між 1000 і 10000 складаються з непарних цифр, скільки із різних цифр?

40. Паліндромом називають довільний вираз, який читається однаково як зліва направо, так і справа наліво. Скільки паліндромів довжиниможна скласти, використовуючи 26 букв алфавіту?

41. Довести тотожності:


42. Довести тотожність: .

43. Знайти число маршрутів із пункту М в пункт N через пункт К, якщо із М в К ведуть 3 дороги, а із К в N - 5 доріг.

44. Знайти число п'ятизначних чисел.

45. Скількома способами можна розмістити 8 тур на шаховій дошці, щоб вони "не били" одна одну?

46. Задача про прямокутники. Скільки різних прямокутників можна вирізати із клітинок дошки, розмір якої?

47. Скільки існує різних перестановок із букв слова "електричка"?

48. В студентській групі, яка складається з 30 чоловік, при голосуванні "за" проголосувало 20, "проти" - 6, "утрималося" - 4 студенти. Скількома способами може бути проведено таке голосування?

49. Скількома способами з групи 20 людей можна сформувати 6 коаліцій по 3 людини та 1 із 2х?

50. Група з 25 студентів уcпішно здала сесію з трьох екзаменів. Можливі оцінки: 5,4,3. Довести, що хоча б 3 студенти здали сесію з однаковими оцінками.

51. На деякому підприємстві працюють 25 співробітників. Довести, що з них не можна утворити більше 30 бригад по 5 чоловік в кожній так, щоб ніякі дві бригади не мали більш одного спільного члену.

52. Деяка комісія збиралась 40 раз. Кожний раз на засіданні були присутні 10 чоловік, причому жодні два із членів комісії не були на засіданнях більш одного разу. Довести, що число членів комісії перевищує 60 чоловік.

53. Скількома способами можна розбити 50 робітників на 5 бригад по 10 чоловік у кожній? На 10 бригад по 5 чоловік у кожній?

54. Cкількома способами можна розділити колоду карт із 36 карт, навпіл, щоб в кожній половині було по 2 валети?

55. В 100 кошиків треба розкласти 1000 кульок різного кольору. Скількома способами це можна зробити, якщо пустих кошиків бути не може?

56. Із тридцяти студентів 60% вивчають німецьку мову, 50% - англійську мову, 50% - французьку мову, 30% - німецьку та французьку; 20% - англійську та французьку, 40% англійську та німецьку, 10% - англійську, німецьку і французьку мови. Скільки відсотків студентів:
а) не вивчають жодної мови;
б) вивчають дві мови;
в) вивчають не менше двох мов?

57. Яких чисел більше серед першого мільйону: тих, в запису яких зустрічаються 1 чи тих, де вона не зустрічається?

58. Довести, що з п'яти грибів, які ростуть у лісі і не розташовані на одній прямій, завжди можна знайти таких чотири, які будуть вершинами опуклого чотирикутника.

59. Маємо абонентів. Скількома способами можна з'єднати одночасно трьох?

60. Скільки і яких цифр знадобиться, щоб записати всі натуральні числа, що менші за?

61. Застосовуючи правила суми та добутку розв'язати задачі:
а) Скількома способами з 28 кісток доміно можна вибрати дві так, щоб їх можна було прикласти одна до одної?
б) В Англії прийнято давати дітям декілька імен. Скількома способами можна назвати дитину. Якщо їй дають не більше трьох імен, а їх загальне число 300 імен. (Два способи, які відмінні порядком імен, вважаються різними).

62. З 100 букв, буква а зустрічається 20 разів, буква в - 5 разів, а інші попарно різні, складаються комбінації з повторенням довжиною 10 букв. Скільки серед них таких, що вміщують букву а 15 - разів, букву в - 4 рази?

63. Маємо колоду з карт (), які вміщує чотири масті по - карт у кожній масті, занумерованих числами. Підрахувати, скількома способами можна вибрати п'ять карт, що серед них буде:
а) п'ять послідовних карт однієї масті;
б) чотири карти із п'яти з однаковими номерами;
в) три карти з одним номером і дві карти з другим;
г) п'ять карт однієї масті;
д) п'ять послідовно занумерованих карт;
е) три карти із п'яти з одним і тим же номером;
ж) дві карти із п'яти з однаковими, а інші з різними номерами.

64. Довести слідуючи властивості біноміальних коефіцієнтів:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .

65. Використовуючи тотожність
,
довести:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9)
10).

66. Довести, що.
За допомогою даної тотожності обчислити:
1);
2);
3);
67. Нехай- дійсні числа,- цілі додатні числа. Довести, що:
1);
2);
3);
4);
5);
68. Показати, що кількість натуральних чисел, що діляться наі не більші за, дорівнює.

69. Знайти число цілих додатних чисел, що не більші за 1000 та не діляться ні на число 6, ні на 10, ні на 15.

70. Нехай- множина із() елементів.
1. Знайти число партаких підмножин, що.
2. Знайти число пар, що;;.
3. Знайти число таких пар, що;;;;.

71. Показати, що функція є твірною для послідовності , якщо:
1);;
2);;
3);;
4);.

72. Знайти загальний член послідовності, для якої функція є твірною:
1);
2);
3);
4);
5);

73. Нехай;;

;- відповідні твірні функції.
1. Довести, щотазв'язані відношеннями типу
;
;;.
2. Знайтита.
3. Показати, що;

.




ЗМІСТ