, таку що її потужність
. Підрахуємо число
розбивань даної множини на
різних підмножин, таких
що
;
,
;
,
.
Розглянемо послідовність підмножин
як впорядковану. Тоді на перше місце
підмножину
можна вибрати
способами, на друге місце
множину
-
способами
і т.д. На останнє місце
можна вибрати із залишку
способами.
За правилом прямого добутку число розбитків множини
на
підмножин
дорівнює:
,
що співпадає з числом перестановок з повторенням.
Приклад 10. В групі із 30 студентів вибирають делегата на конференцію. "За" дану кандидатуру проголосувало 20 студентів, "проти" - 6, "утрималося" - 4.
Скількома способами могло бути проведено таке голосування?
Розв'язання. Розглянемо множини
;
;
;
;
Кiлькість способів голосування визначається виразом
.
Знову розіб'ємо множину
на підмножини. Серед яких для
кожного
існує
підмножин з
елементами.
Тоді
,
де
- попарно непересічні та
.
Для кожного
. Порядок підмножин в розбитті
неістотний.
Так, наприклад, розбиття множини
:
;
;
.
;
;
.
;
;
.
вважаються однаковими.
Позначимо число невпорядкованих розбиттів множини
через
та розглянемо
схему формування впорядкованих розбиттів множини для
Нехай в
різних урн закладають
кульок
.
Якщо всі урни вміщують різне число
кульок, то вони різні, тобто впорядковані і невпорядковані розклади
співпадають. Нехай тепер урни вміщують однакову кількість кульок. При
впорядкованому розкладі такі урни різні. При невпорядкованому розкладі
обмін кульками таких урн можна розглядати як відповідну перестановку
вказаних урн, що не приводить до нових розкладів. Тобто, число
невпорядкованих розкладів буде в
разів менше, ніж впорядкованих, а саме
.
різних коаліцій (невпорядковане розбиття).
Кожна половина трьох розкладів дам виконує роль двох "урн", куди необхідно
покласти розділені навпіл 32 карти. Розклад 32 карт - впорядкований, бо
"урни" різні, число їх
